Problemy Hilberta

Krótka biografia

David Hilbert - (ur. 23 stycznia 1862, zm. 14 lutego 1943) matematyk niemiecki. Zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.
Na MKM w Paryżu, roku pańskiego 1900 wygłosił w ojczystym "dojcznym" języku 23 problemy matematyczne, które do teraz są ośrodkiem zainteresowania i badań wielu wybitnych uczonych.

---

23 Problemy D.Hilberta

Nr	Problem	Aktualnie
1	Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych)	Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości – nie można jej ani udowodnić, ani obalić
2	Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (tzn., że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)	Nie ma zgody co do rozstrzygnięcia, mający pomóc w rozwiązaniu problemu program Hilberta został podważony przez twierdzenie Gödla, jednak jest to wciąż przedmiotem debaty
3	Czy mając dane dwa czworościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?	Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład
4	Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktami	Problem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków
5	Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego?	Rozwiązany – tak
6	Aksjomatyzacja całości fizyki	Problem został uznany za niematematyczny, rozwiązany tylko dla niektórych dziedzin
7	Czy liczba ab, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest niewymierna, jest liczbą przestępną?	Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela twierdzenie Gelfonda
8	Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych)	Problem otwarty
9	Dowód uogólnionego prawa wzajemności dla każdego algebraicznego ciała liczbowego	Rozwiązany częściowo
10	Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznego	Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe
11	Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi	Rozwiązany
12	Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o ciałach abelowych na dowolne algebraiczne ciała liczbowe	Problem otwarty
13	Rozwiązywanie wszystkich wielomianów 7 stopnia przy użyciu funkcji dwóch zmiennych	Rozwiązany. Możliwość rozwiązania wszystkich takich wielomianów udowodnił Władimir Arnold
14	Dowód skończoności konstrukcji pewnych podpierścieni	Rozwiązany. Odpowiedź przecząca (głównie z uwagi na kontrprzykłady)
15	Ścisłe sformułowanie rachunku Schuberta	Rozwiązany
16	Postulat badań nad topologią krzywych i powierzchni algebraicznych	Problem otwarty
17	Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratów	Rozwiązany. Wyznaczono górną granicę liczby wymaganych składników
18	Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni? Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer?	Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację
19	Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?	Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca. Dowód podany przez Enrico de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha
20	Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?	Rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w. wieloletnie wysiłki zwieńczone w 1998 r. przedstawieniem dowodu dla przypadku ogólnego
21	Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych z przypisanymi grupami monodromii	Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca lub przecząca, w zależności od szczegółowego sformułowania problemu
22	Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznych	Rozwiązany
23	Dalszy rozwój rachunku wariacyjnego	Rozwiązany